（毕业论文 字数：2556 页数：6）摘要：本文阐述了如何用Griddy-Gibbs抽样对GARCH模型进行贝叶斯推断。Gibbs抽样方法是基于完全条件后验密度的，但在GARCH模型中，参数的密度比较复杂，从而无法用共轭法来构造它的后验密度，对其直接抽样不可行。因此，本文把Gibbs抽样和数值积分法相结合,来从后验分布中进行抽样，并用CUMSUM统计量来判断抽样的收敛性。利用模拟产生的数据，本文分别用Griddy-Gibbs抽样和MLE两种方法来估计模型，并比较其结果，得出结论：这个Griddy-Gibbs抽样是可行的，且结果与MLE互有优劣。
关键词：Griddy-Gibbs抽样,GARCH,CUMSUM统计量,MLE
目录
一、研究背景
二、GARCH模型概述
三、Griddy-Gibbs抽样介绍
四、马尔科夫链收敛性的诊断
五、对GARCH（1, 1）进行Griddy-Gibbs抽样
一、研究背景
GARCH模型的贝叶斯推断已经用一些抽样方法实现过，象importance sampling和Metropolis algorithm，这些方法的缺点在于，它们需要认真挑选一个与后验分布比较近似的候选分布，对它的调整是不可避免的，这就使得这些方法有点机械。
Gibbs抽样充分利用了后验分布的解析性质，当参数向量 被分成单个参数 和 ，且它们的条件后验密度的解析式可知时，Gibbs抽样是非常简单的。依序对各个条件后验密度进行抽样产生一个马尔科夫链，它收敛到对联合后验密度的抽样。在有些情况之下，我们知道 的条件后验密度，但是不知道 的不可知，因此，从 中直接抽样是很方便的，但从 中抽样非常复杂，传统的解决方法是在抽样中利用拒绝算法，如Metropolis-Hastings(MH)算法。
在GARCH模型中，有些参数的完全条件后验密度的形式比较复杂，不能使用传统的抽样方法，本文利用数值积分的方法，把条件后验密度估计出来，然后对其进行抽样，这就是所谓的Griddy-Gibbs抽样。
本文的目的是用Griddy-Gibbs抽样方法对GARCH模型进行贝叶斯推断。在第二部分概述GARCH模型，第三部分介绍Griddy-Gibbs抽样，第四部分介绍收敛性诊断，最后部分我们利用模拟的数据，对GARCH模型进行估计，并与MLE的结果进行比较。
二、 GARCH模型概述
从恩格尔在1982年引进ARCH模型以来，产生了这类应用的许多推广，如GARCH模型融合了参数的节俭原则及条件方差的滞后结构的弹性；假设误差项服从t分布；条件方差的非线性扩展，特别是考虑到条件方差对以往冲击的非对称响应。
本文只考虑对GARCH（1，1）的贝叶斯推断，在其它复杂情形下，抽样方法都一样。GARCH（1，1）模型的形式如下：
如果 是个固定值，则上式是一个正态密度，但是由于 是 ， 和 的函数，因而这不是正态的，也不是其它已知的某种分布，从而不可以从中简单直接地进行随机抽样，也不存在共轭分布。
然而， 的核 是以前一次抽得的条件参数为条件的，因而可以用格子点来估计，然后可以用数值积分的方法来求出它的分布函数。接着，我们可以在[0,1]均匀分布上随机抽取一点，通过求分布函数的逆，来抽取 值。对其它参数使用同样的方法进行抽样。下面介绍Griddy-Gibbs抽样的具体步骤。
三、 Griddy-Gibbs抽样介绍
Griddy-Gibbs抽样按照以下步骤进行，从后验密度中抽取N个样本：
第1步：设定参数的起始点，分别为 ， 和
第2步：从 开始循环。
第3步：在格子 上计算 ，得到向量 。
第4步：通过G个点格，用数值积分计算 ，其中：
，
标准化积分值 ，得到 的分布值。
第5步：在均匀分布U(0,1)上随机抽取一个值 ，在 中找到最靠近 的两个点的位置，用插值法计算出要抽取的 值，标为 ，保存起来。
第6步：用第3到5步的方法来抽取 。
第7步：用第3到点步的方法来抽取 。
第8步：令n=n+1，再回到第3步，直到n>N。
第９步：从 来计算参数的均值和标准差，即为参数的估计。
关于Griddy-Gibbs抽样还存在一些细节的问题，第一，如果要抽取更多的参数，意味着我们要考虑一个更复杂的马尔科夫链，只要如同上面的步骤6和7一样，依次抽取其它参数即可；第二，格子的选择是必须要谨慎，而且这也是应用这个方法的主要难点，研究者必须对参数的积分边界有一个清醒的认识，必须把积分限制在这样一个参数空间里，在这里面后验密度的值要足够大；另外，太大的格子点在实际应用中是不行的，它以抽样的精度为代价。因此，在确定积分区间之前，有必要通过改变条件参数的值来探索一下条件密度的形状；第三，很显然，在每次迭代中改变格子的选取是非常有效的，但这个方法在实际应用中有难度，而不大被采用。
四、马尔科夫链收敛性的诊断
有许多收敛的标准被用到了马尔科夫链上，Gelman和Rubin(1992)年引进一个基于多次抽样的方法，来判断后验结果对初始值是否比较敏感，这个方法不是太吸引人，因为它要进行多次Gibbs抽样。
因此，基于一次抽样的诊断标准要比较好，一个简单的工具是Yu和Mykland(1994)提出的CUMSUM统计量的直观检验，假设我们有马尔科夫链的N个抽样值，CUMSUM统计量的形式如下：
,
这里， 和 分别是这N个抽样值的均值和标准差。
如果MCMC是收敛的，则 对t的图形会平缓地收敛到0，相反，如果它长期且规则地偏离0，这表明MCMC的收敛性不存在。
如果研究者想比较各个参数的链的收敛情况，标准化一下这个指标会很方便。t次抽样后的CUMSUM在0.05的水平内，表示经过t次抽样的后验期望对最终（N次抽样）后验期望的偏离在0.05个最终后验标准差估计单位内。通过比较达到0.05水平时的t的大小，可以比较各参数收敛的快慢。 | 