| 利用几何画板探索轨迹的教学 ——研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。 下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。 教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子： 如图1，过椭圆 ( )的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。 轨迹1 过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。 图1 图2 几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。如图2 “怎样求出这个小圆的方程？” 学生：按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，则AB的垂线的斜率为 ，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M的坐标，最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇！好复杂。 学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。 教师：“你为什么不动手做？” 学生：“我在想……这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法： 因为OM⊥AB ，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若设点M的坐标为(x ，y)，点F1的坐标为(c，0)，则 x2 + y2 + (x－c)2 + y2 = c2，即 。这就是所求的轨迹方程。” “啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。 马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是‘给定两点O与F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。’这当然很容易解得。” 教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下： 轨迹2 如图3，求弦AB中点P的轨迹方程。” “猜猜看，点P的轨迹是什么？” 不少学生已经利用几何画板演示了出来： 几何画板演示：拖动主动点A，得到点P的轨迹是 一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即 半焦距 。如图4。 “真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。 “怎样求这个小椭圆的方程？” 教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图3 对这类问题无从下手。 教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设P点坐标为(x，y)。要建立点P的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中点F1是定点，A、B、P都是动点，但点A是主动点，引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。” “点P与A、B两点的坐标的关系怎样？” 学生：“根据中点坐标 [原文截取] 利用几何画板探索轨迹的教学 ——研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。 下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。 教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子： 如图1，过椭圆 ( )的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。 轨迹1 过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。 图1 图2 几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小..... |
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