| 反证法在几何问题中的应用 反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。 一、证明几何量之间的关系 例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， 。 求证： 。 证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。 ∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点， ∴ ， ； ， 。 ∵AB不平行于CD， ∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。 ∴ ① 但 ② ①与②矛盾。 ∴ 例2：直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、 、 ， 。 求证： 。 证明：假设PO不垂直平面 。 作 并与平面 相交于H，此时H、O不重合，连结OH。 由P作 于E， 于F， 根据三垂线定理可知， ， 。 ∵ ，PO是公共边， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 因此，OH是 的平分线。 同理可证，OH是 的平分线。 但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是 和 的平分线，产生矛盾。 ∴ 。 例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线 [原文截取] 反证法在几何问题中的应用 反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。 一、证明几何量之间的关系 例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， 。 求证： 。 证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。 ∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点， ∴ ， ； ， 。 ∵AB不平行于CD， ∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。 ∴ ① 但 ② ①与②矛盾。 ∴ 例2：直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、 、 ， 。 求证： 。 证明：假设PO不垂直平面 。 作 并与平面 相交于H，此时H、O不重合，连结OH。 由P作 于E， 于F， 根据三垂线定理可知， ， 。 ∵ ，PO是公共边， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 因此，OH是 的平分线。 同理可证，OH是 的平分线。 但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是 和 的平分线，产生矛盾。 ∴ 。 例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线..... |
反证法在几何问题中的应用-人教版
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