| [页数] 11 [字数] 2813 [原文] 一 引言 四面体是三维空间的基本几何形体之一，研究它的度量关系是很有意义的.本文将借助于向量代数来研究任意四面体的有关计算.向量是数学中的重要概念之一，是高中新教材的教学内容.作为现代数学的重要标志之一的向量，给数学教学带来了生机与活力. 二 公式的证明 (一) 四面体的体积 平面几何中最简单的几何图形三角形有面积公式 ,那么,立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积公式呢？ 公式 1 若四面体O-ABC的三条棱分别为OA,OB,OC,且OA=a ,OB=b , OC= c , 则四面体的体积 (a,b,c为四面体同一个顶点出发的三条棱长， 为这三条棱 两两的夹角) 分析 （1）由初等几何知，四面体O-ABC的体积等于以OA，OB，OC 为棱的平行六面体的体积的六分之一. （2）把求四面体体积的问题转化为求以 为棱的平行六 面体的体积. （3）由向量混合积的几何性质可知，三个向量 的混合积 的绝对值等于由这三个向量为同一顶点出发的三条棱所构成的 平行六面体的体积. 证明 如图（1），则四面体O—ABC的体积 注 公式(1)可视为三角形面积公式 表成 的推广.我们通常用公式 来求四面体的体积，而求作四面体的高往往会给解题增加难度.引用公式（1）解四面体的体积问题，思路将变得清晰，不必为求作四面体的高添加辅助线等. 公式（1）的运用将提高学生分析问题、解决问题的能力. （二）四面体中二面角的平面角 公式 2 若四面体O—ABC的三条棱分别为OA,OB,OC,且OA=a , OB=b , OC= c , ，则二面角A-OB-C的平 面角 的余弦 . (2) （ 为所求四面体中同一个顶点出发的三条棱中，每两条棱 间的夹角，且 为所求二面角的两个平面中对应的两条棱的夹角.） 图（2-1） 图（2-2） 证明 不失一般性，可设 三向量成右手系，如图（2-1）、图（2-2），以OA、OB为邻边作平行四边形构成平面 ，以OB、OC为邻边作平行四边形构成平面 ，在平面 内作 ，垂足为G，在平面 内作 ，垂足为G，过F作平面 的法向量 ，过E作平面 的法向量 , 交于点H， 与 的夹角为...... [摘要] 本文利用向量代数研究四面体的体积、二面角、侧棱与底面所成的角、顶点到它所对面的距离、对棱之间的距离、对棱所成的角，给出了有关的计算公式，并结合实例对公式加以运用. [参考文献] 【1】 郭卫中 《空间解析几何》 辽宁人民出版社 【2】 朱德祥 《初等数学复习及研究》 人民教育出版社 【3】 吕林根、许子道《解析几何》 高等教育出版社 【4】 薛德炯、吴载耀《几何学辞典》 上海科学技术出版社 【5】 陈金辉 “四面体的求积公式” 《数学通报》1985，（3） 【6】 胡国华 “四面体求积的另一公式” 《数学通报》1986，（5） 【7】 陈德山 “向量在中学代数的应用” 《数学通报》1987，（9） 【8】 徐连清 “四面体的一个体积定理的证明和应用” 《数学通报》1996,（3）. [原文截取] 任意已知四面体的有关计算公式 摘要 本文利用向量代数研究四面体的体积、二面角、侧棱与底面所成的角、顶点到它所对面的距离、对棱之间的距离、对棱所成的角，给出了有关的计算公式，并结合实例对公式加以运用. 关键词 四面体;数量积;向量积 一 引言 四面体是三维空间的基本几何形体之一，研究它的度量关系是很有意义的.本文将借助于向量代数来研究任意四面体的有关计算.向量是数学中的重要概念之一，是高中新教材的教学内容.作为现代数学的重要标志之一的向量，给数学教学带来了生机与活力. 二 公式的证明 (一) 四面体的体积 平面几何中最简单的几何图形三角形有面积公式 ,那么,立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积公式呢？ 公式 1 若四面体O-ABC的三条棱分别为OA,OB,OC,且OA=a ,OB=b , OC= c , 则四面体的体积 (a,b,c为四面体同一个顶点出发的三条棱长， 为这三条棱 两两的夹角) 分析 （1）由初等几何知，四面体O-ABC的体积等于以OA，OB，OC 为棱的平行六面体的体积的六分之一. （2）把求四面体体积的问题转化为求以 为棱的平行六 面体的体积. （3）由..... |
本科毕业论文--任意已知四面体的有关计算公式
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