（译文 页数：13 字数：6195）分析与几何中的Heisenberg群导论

摘要：Heisenberg群导论以离散与连续的形式出现在数学的许多分枝,包括傅里叶分析、多复变、几何与拓扑.在这篇概述里,我们不拟太多地关注任何特别的方面,但试图给出一类样本.我们从某些基本的演算开始.

目录

1.乘法算子与微分算子的换位子
2.线性算子的某些群
3.定义第N个Heisenberg群
4.离散的Heisenberg群
5.与多复变数的联系
6.管域以及其上的正则函数空间
7.一些几何方面的问题

乘法算子与微分算子的换位子

给定一个正整数n,记 为 上的内积,即 ,其中 与 分别是v与w的第j个分量.如果v与w是 上的元素,f是 上的函数,让我们记 f(x)为由 f(x)=( )f(x)定义的函数, (f)是f关于v的方向导数,即 (f)= 我们
在这里将不深究可微性的程度,为方便计而假定函数充分光滑.通常对于乘积微分的Leibniz法则蕴含
（1）
换言之,线性算子 与 的换位子等于恒等算子的一个常数倍,且这个常数一般是非零的.
注意到两个实的或复的有限秩矩阵的换位子决不可能等于恒等矩阵的非零常数倍,因为换位子的迹自动为零.这一观察用到了乘积矩阵AB的迹与BA的迹相同的标准恒等式.对于无穷维空间上的线性算子,仍然成立下述结果:两个有界线性算子的换位子不可能是恒等算子的非零常数倍.
参见文献 [18]的350---351页或[5].
如所周知,一般而言, 与 不能互相交换的事实联系到量子力学的Heisenberg测不准原理.