（论文     字数：9929 页数：30）摘 要 ：虽然分形是上世纪70年代兴起的一门新的数学学科，但其在短短的30年中已迅速地在自然科学的各个领域得到了广泛应用。在分形的研究中，复动力系统在分形中占有很重要地地位。本文从分形最基本的概念和理论出发,逐步介绍了复动力系统中分形的构造及相关理论，重点讨论复动力系统中分形的图形实现。对已有的时间逃逸法提出了两种改进方法，最后从准仿射映射的相关理论出发讨论了一类特殊复动力系统的作图改进的方法，并给出了算法。

关键词：复动力系统,Julia集,Mandelbortt集,逃逸时间法

Abstract ：Although fractal was founded in the seventies of last century, it has been widely used in every natural scientific fields during these 30 years. Among all kinds of fractal complex dynamical systems take an important part .This article introduces foundational fractal theory step by step and makes a detailed discussion about complex dynamical systems ,especially the ways to generate fractal image. Then gives two ways to accelerate the escape time algorithm and argues a new thought to generate image for a special kind of fractal, which is based on Quasi-affine maps. At last gives the algorithm of this new thought.


Keywords: complex dynamical systems； Julia sets；Mandelbrot set；escape time Algorithm

目 录
1 背景…………………………………………………………………………………(1)
2 研究意义……………………………………………………………………………(1)
3 分形概述……………………………………………………………………………(2)
3.1 分形定义…………………………………………………………………(2)
3.2 测度和维数………………………………………………………………(2)
3.2.1 Hausdorff测度 …………………………………………………(2)
3.2.2 Hausdorff维数 …………………………………………………(3)
3.2.3 Hausdorff维数的等价定义 ……………………………………(3)
3.2.4其他维数及hausdorff维数相关计算定理 ……………………(4)
3.3 分形的一般生成原理……………………………………………………(6)
3.4 简单分形实例……………………………………………………………(7)
4 复动力系统中的分形………………………………………………………………(9)
4.1 一般构造方法……………………………………………………………(9)
4.2 已有研究结果……………………………………………………………(10)
4.2.1 Julia集…………………………………………………………(10)
4.2.2 Mandelbort集 …………………………………………………(11)
5 分形图形的生成……………………………………………………………………(11)
5.1 逃逸时间法………………………………………………………………(11)
5.2 生成实例…………………………………………………………………(12)
6 复动力系统中其他分形……………………………………………………………(13)
6.1 其他Julia集及广义Julia集…………………………………………(13)
6.2 牛顿分形…………………………………………………………………(15)
7 探索构造分形图形的计算机生成新方法…………………………………………(16)
7.1 一般方法的改进…………………………………………………………(16)
7.1.1 逃逸时间算法的改进……………………………………………(16)
7.1.2 反函数随机法……………………………………………………(18)
7.2 针对一类分形新的计算机生成方法初探………………………………(18)
致谢……………………………………………………………………………………(24)
参考文献………………………………………………………………………………(25)


1 背景
分形几何是上世纪下半叶发展起来的一门新兴数学分支。自然科学和自然界中存在的大量的不规则几何形态难以用经典的几何图形刻画，如云层的边界、山川的轮廓、股市的K线图、非线性系统的吸引子、植物的形状、工程技术中的信号等。作为研究处处不规则的几何形状的分形几何在短短的几十年得到了飞速的发展，一方面已渗透到数学的各个分支，如数论、偏微、动力系统等；另一方面，它在物理相变、化学反应浓度控制、生物酶的生长、地貌的形成、矿物分布以及数据压缩、计算机图形处理理论与应用等都有突破性的进展。但由于分形自身非常复杂性，要满足其它各学科发展的要求，就需要提供新的理论和方法对其进行全面、深入地研究。动力系统中的分形集是近几十年分形几何中最活跃和极引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子的边界通常是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程的迭代。朱莉亚（G.Julia）和法度（P.Fatou）于1918-1919年间开创了复动力系统这一新领域。他们发现复解析函数 对某些 的反函数迭代生成的不变集根据Montel正规族理 把
复平面划分为两个部分，一个部分为所有的正规点集 ，另一部分为所有的非正规点 。