（毕业论文 字数：3803 页数：13）摘 要：随机变量之间相关性的建模对风险管理和其他的一些金融问题有深远的意义。相关性度量的经典方法是皮尔逊的线形相关性。但是，最近由于金融市场变动的趋势变的越来越极端，线形相关性的局限性也就一点点的暴露出来了。因此，统计学家们用连接函数来处理一系列金融问题，并为金融风险的统计分析提供了一个全新的研究领域。特别是由它引出的一个重要的相关性指标尾部相关性对金融市场中相关性的度量有一些新的认识，而且尾部相关性在金融市场分析中的作用也益重要。 同时，我们发现尾部相关性对于相关系数的度量还存在一些缺陷。在本文中，我们将指出这些缺陷，然后给出更加一般的方法来度量随机变量之间的相关性，特别是正态分布的尾部相关性，并获得了一些有意义的结论。
关键词：尾部相关,线性相关,连接函数,正态分布
Abstract ：The modeling of dependence is crucial issue to risk management and lots of other financial problems. The classical way to measure dependence is linear correlation. But recently, mainly due to the extremal market moves, the limitation of linear correlation is strongly felt, so statistic experts introduce copulas to financial fields, from which tail-dependence is introduced. Tail-dependence gives us a new understanding of financial risk and become more and more important in financial analysis. However, we still find it is imperfect. In this paper, we suggest a general way to the measure of tail-dependence, and especially analyze the property of Multi-normal distribution. To our excitement, several interesting results are found.
目录
引言………………………………………………（4）
一． 金融资产回报率的统计特性…………… （4）
二． 线性相关性……………………………… （6）
三． 分位点的尾部相关性…………………… （7）
四． 一般情形下的相关性…………………… （8）
五． 两元正态的尾部相关性………………… （9）
六． 正态随机向量的尾部相关性………………（11）
七． 结论…………………………………………（）
引言
随机变量之间的相关性一直是统计学研究永恒的主题之一。现在大家在实际中使用度量两个随机变量之间相关性的指标的大多是皮尔逊的相关系数。这种相关性不仅只是描述了线性相关性，而且是一种平均的整体的考虑的相关性，但它的重点没有放在尾部，因为尾部总的概率比较小。但是金融市场通常不服从高斯-马尔可夫假设，例如下文讨论的金融资本的回报率，它们具有较厚的尾部特性。因此用传统的相关系数是不能有效地描述金融市场，有时甚至是错误的。
统计学家们寻找到了一种新的工具来分析金融市场。连接函数的运用使我们对信贷、市场、作、资产组合等风险有了新的认识。同时连接函数也引出了一个重要的相关性指标--尾部相关性，为相关性的度量提供了新的工具。现在已经证明，在两个随机变量的边缘分布和连接函数都是正态的情形下，当|ρ|<1 时尾部相关性是0，其余是1。
本文受上述方法的启发，定义了更加一般的尾部相关系数，并探讨了正态随机变量尾部相关性的各种情形。
一：金融资产回报率的统计特性
金融资产回报率时间序列数据的实际分布与正态分布相比，在尾部明显更厚，中间腰部更细更尖。如图一，上证指数的回报率（1993-2002）的频率直方图肥尾现象很明显，而且Kurtosis的检验值等于17.94远大于正态时候的3。 从QQ图中也能够发现其分布的尾部显著的偏离了正态。
我们再来考察一下两种金融资产联合回报率的统计特性。如图二所示：上证指数和深成指的回报率有显著的正相关性。在高斯—马尔可夫假设前提下，我们给出了95%的置信区间。显然两种金融资产的联合回报率分布也呈现出很厚的尾部特征。
由上述的实证分析可以发现正态假设下的小概率事件，在金融市场中发生的可能性并没有那么小，有时可能是很大的。这些小概率事件是我们真正关心的，因此传统的研究方法已经满足不了我们的需要了，我们要将研究的重点方在分布的尾段上，本文主要分析二元正态分布的尾部性质。
二：线性相关性
定义1.1： 设 X,Y 为两个随机变量，且存在有限的二阶矩，那么X、Y的线性相关系数为
= （1）
其中：
由定义可得： ρ(αx+β, γy+σ)=sign(αγ)ρ(x,y)
ρ(Ax+a, By+b)=Acov(x,y)BT
其中 α，βR\0、，，a，bR，A，B是mn的矩阵。
可见线性相关系数有很好的数学性质。在严格的单调变换下相α关性是不变的。但是它的不足也是显然的。（1）告诉我们，X、Y必须有两阶矩、即方差和协方差。但金融市场中出现的不少数据往往是肥厚分布的，它们的二阶矩-方差是不存在的。有的连期望都没有。对于这种情况（1）式就没有办法度量。
还有一种情况就是X、Y之间有很强的相关性，但用（1）式的定义方法来计算的相关系数却为0，变成了不相关。
例如：若XN（0，1）， 。X与Y之间的关系是很密切的，但是 因为XN（0，1），X的任何奇数阶矩都是零。而且还可以找到这样的分布族相关系数是零，它们之间却有很强的关系。
第三个不足之处就是皮尔逊的相关系数起作用的隐含假设条件是分布是属于椭圆类的。然而很多的金融数据分布没有这样的性质，这样由这种相关系数得到的结果很有可能是误道的。
于是我们需要重新定义相关系数来克服以上的缺陷。
三．分位点的尾部相关性
在金融市场中一种资产价格的微小变动对于别的资产没有什么影响，但当它发生剧烈变动时就很有可能有影响了。它可能会拉动别的资产价格上涨或下跌。而且要获得较高投资回报率的期望也迫使我们更加关注资产价格极值的相关性。又例如在社会保障中，夫妻一方年龄较大时，另一方年龄是否也有较大的可能性会变大？因此我们更加关心随机变量的尾部相关性。于是考虑
P（y>t | x>t）
当 时的极限是有意义的，类似的也可以考虑
P(y<t | x>t), P(y>t | x<-t), P(y<-t | x<-t)
等。 然而如果x，y服从不同的分布。t 对于x来说是大值，且假设x>t的概率是2%，但对于y不一定是大值，y>t的概率可以是30%或者更多。因此，比较合理的是选择同一水平的分位数。.
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