(毕业论文 页数:51字数:10216 带程序)摘 要:本文研究Timoshenko梁在两端铰支、两端固支以及两端带有扭转弹簧铰支三种约束边界条件下的固有频率和振动模态问题。
首先通过对梁微单元体的受力分析，利用牛顿第二定律导出Timoshenko梁横向振动的偏微分控制方程和三种约束边界条件。针对不同的数学模型，利用模态分析方法及半解析半数值方法，研究三种约束边界条件下，梁横向振动的振动模态及固有频率。本文还讨论梁弯曲振动前两阶固有频率随着梁的刚度变化的情况，并分析梁转动惯量及剪切变形等参数对固有频率的影响。最后利用数值算例对Timoshenko梁、Euler梁、Rayleigh梁及shear梁的固有频率做出比较，分析转动惯量、剪切变形和梁的刚度对固有频率的影响。
关键词：Timoshenko梁；固有频率；振动模态；转动惯量；剪切变形
The natural frequencies of transverse vibrations for several beam models Abstract
The natural frequencies and the vibration modes of Timoshenko beam are investigated for three kinds of supporting boundaries, namely, simply supports, fixed supports, and simple supports with torsion springs.
By analysis of the beam element, the governing partial differential equations of transverse vibrations of Timoshenko beam are derived by Newton’s second law for the three kinds of boundary conditions. The complex mode method and semi-analytical method are applied to the governing equation to obtain the vibration mode and the natural frequencies for different boundary conditions. The first and second natural frequencies are analyzed accounting for the rotation inertia and shear deformation of Timoshenko model. Four types of beam models, namely, Timoshenko beam, Euler beam, Rayleigh beam and shear beam, are discussed in the field of natural frequency analysis.
Key words: Timoshenko beam; natural frequency; vibration mode; rotation inertia; shear distortion

目 录
1 绪论 1
1.1 引言 1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 课题研究的方案和步骤 3
2 Timoshenko梁的动力学模型 5
2.1 引言 5
2.2 梁微单元分析 5
2.3 梁振动微分方程 6
2.4 边界条件 8
2.5 控制方程及其边界条件的无量纲化 9
2.6 本章小结 10
3 Timoshenko梁的振动特性分析 11
3.1 引言 11
3.2 Timoshenko梁在不同边界条件下的振动特性 11
3.2.1 铰支边界条件下的振动模态及固有频率 11
3.2.2 固支边界条件下的振动模态及固有频率 14
3.2.3 两端带有扭转弹簧的铰支边界条件下的振动模态和固有频率 17
3.3 Timoshenko梁在铰支边界条件下剪切模量对固有频率的影响 22
3.4 本章小结 23
4 Timoshenko梁在铰支边界条件下与另外三种梁模型的比较 25
4.1 引言 25
4.2 Timoshenko梁在铰支边界条件下的固有频率 25
4.3 Euler梁在铰支边界条件下的固有频率 26
4.4 Rayleigh梁在铰支边界条件下的固有频率 27
4.5 shear梁在铰支边界条件下的固有频率 28
4.6 四种梁模型在铰支边界条件下的固有频率比较分析 29
4.7 本章小结 31
5 结论 32
参考文献 33
致 谢 35
附录I 参数表 36
附录II 程序清单 37
Timoshenko梁铰支边界条件下的一阶固有频率 37
Timoshenko梁铰支边界条件下的二阶固有频率 38
Timoshenko梁铰支边界条件下的一阶模态 39
Timoshenko梁铰支边界条件下的二阶模态 41
铰支边界条件下剪切模量对一阶固有频率的影响 42
铰支边界条件下剪切模量对二阶固有频率的影响 45

1 绪论
1.1 引言
随着工程技术的发展，机械振动问题已成为各个工程领域内经常提出的重要问题，电子计算机的广泛使用和动态测量技术的进步也为复杂问题的解决提供了有力的工具，尤其是工程中所使用的各种梁模型，人们根据不同的需要往往可以选择Euler梁、Rayleigh梁、shear梁、Timoshenko梁等等，近几十年来随着科学技术的进步和工业的快速发展，一方面工业产品设计得愈加微型化、精巧和复杂化，如能清洗血管的机器人，具有通信、遥感、电子侦察等功能的微型卫星等；另一方面工程结构也愈加巨型化，如已建成的具有蓄水、发电功能的三峡大坝，已建成的和将要修建的超高摩天大楼及跨江、跨海悬索桥与斜拉桥等。做为工程中的重要部件，梁模型化后的连续体应用非常广泛。它的研究和发展情况标志着一个国家的科技水平、经济优势、和社会建设实力。当前各种形式的梁已经大量应用于桥梁、航空航天等工业领域中，是生产生活中必不可少的一部分。
1.2 国内外研究现状
关于梁问题的精确推导最先是用普通弹性方程的形式开始研究的。研究者们得到了能描述实心圆柱的振动方程。然而，这种方程不能在实际中解决全部的工程问题，因为在这种方程中得到了比通常应用中更多的信息。在某些情况下，得到梁横向位移的近似解就足够了。本课题所考虑的梁理论都以横向位移做为主要研究对象。
早期的研究者认识到，在横向振动梁中，弯曲变形的影响是最主要的因素。Euler-Bernoulli模型加入了由于弯曲产生的应变能和横向位移产生的动能。关于Euler-Bernoulli模型的发展可追溯到18世纪，人们首先发现了弹性梁上任意点的曲率与该点的弯矩成正比，从而推导出振动梁的运动微分方程，在此基础上，又做了很多不同加载情况下弹性梁形状的研究，使Euler在弹性曲线方面做出了很多的发展。Euler-Bernoulli梁理论，有时候也被叫做经典梁理论，Euler梁理论，Bernoulli梁理论，是振动问题中使用最广泛的理论，因为它简单并能给出很多工程问题的合理近似解。然而Euler-Bernoulli模型有过高估计固有频率的趋势，这个问题在估计模型更高阶的固有频率时会更明显。同样，这种对固有频率的估计在应用到细长梁的情况中比非细长梁的情况要好很多。
Rayleigh梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，通过考虑转动惯量的影响得到了一些进步。结果，Rayleigh模型部分的解决了Euler-Bernoulli模型对固有频率的高估问题。然而，固有频率仍然偏高。所以早期的研究者还研究了一端固定-一端自由梁的转动惯量的影响。
Shear模型把剪切变形加到了Euler-Bernoulli模型当中。需要说明的是，这与单纯的剪切模型不同，单纯剪切模型只考虑剪切变形和转动惯量，这与简单的shear梁也不同，简单的shear梁只考虑剪切变形和横向位移。纯剪切模型或简单剪切模型都不适合得到比Euler-Bernoulli模型更好的模型的目的，因为两种模型都忽略了最重要的因素，弯曲的影响。通过把剪切变形加到了Euler-Bernoulli梁模型中，对固有频率的估计有了相当大的改善。
Timoshenko 提出了一种在Euler-Bernoulli梁中既加入剪切变形的影响又加入转动惯量的影响的理论。Timoshenko模型是对非细长梁和高频响应的一个大的改善，这里剪切变形和转动惯量的影响是不可忽略的。按照Timoshenko的方法，有的学者得到了多种边界条件下的频率方程和模型。
Traill-Nash和Collar[1]给出了均衡梁情况下完整的理论分析方法和实验结果。他们得到了频率方程的表达式和六种通常边界条件的模型形式：固定-自由、自由-自由、铰支-自由、铰支-铰支、固定-固定和固定-铰支。他们得出了实验结果，与用Euler-Bernoulli, shear和Timoshenko模型得到的数字结果相一致。他们应用了非细长梁模型，这种模型中剪切变形和转动惯量的影响是重要的。并且他们比较了一、二阶固有频率在用各种模型预测和实验值之间的不同。
后来有人通过独立推导得到了六种边界条件的模型的频率方程和表达式。这个频率方程是非常难于求解的，除非是简支梁的情况。即使是频率方程的根能够得到，但想让人完全理解接受这个理论也是一个难题。
Traill-Nash 和 Collar只给出了固有频率和模型形式的表达式，他们并没有求得不同初始条件和外部力的完整响应。为了得到完整的响应，必须具备特征函数的正交性条件的知识。对于Timoshenko梁的正交性条件由Dolph(1954)[2]和Herrmann(1955)[3]单独给出。Dolph解决了在没有外部力情况下，两端铰支梁的初始和边界值问题，用于解决受力初始边界值问题和变边界条件问题的方法在他的论文中有简要的提及。解决初始条件和外部力不同的Timoshenko梁的响应的一般方法在Reismann和Pawlik(1974)[4]“Elastokinetics书中给出了，他们应用了特征函数展开法。