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[数理方法] 有关球形轴对称问题解析延拓的讨论

  • 简介: 原文 摘要:本文以半球的稳定场问题为模型,由轴对称问题出发,利用完整球的结果,考虑了勒让德多项式的性质,并给出了解析延拓的证明。正文:1.引言在数学物理方程中,我们经常会遇到轴对称的半球内的稳定场问题,可以是静电场或温度场,一...
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原文

摘要:本文以半球的稳定场问题为模型,由轴对称问题出发,利用完整球的结果,考虑了勒让德多项式的性质,并给出了解析延拓的证明。

正文:
1.引言
在数学物理方程中,我们经常会遇到轴对称的半球内的稳定场问题,可以是静电场或温度场,一般情况下,其定解条件可以表述为:

对于此类特殊函数,不考虑边界条件的影响,我们常以完整球为模型,采用球坐标对拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程分离变量,其分离变量函数为 。其中关于 在轴对称时为勒让德方程。勒让德方程及其自然边界条件构成勒让德本征值问题,本征函数即勒让德多项式 ,本征值 ,模数 。对于半球问题,关于 的本征函数、本征值及其模是与完整球是不同的。但我们可以利用完整球的结论解半球问题,即通过解析延拓的方法将半球问题延拓为完整球问题。如(1)式可以延拓为下述定解问题:

(2)是(1)的奇延拓。这是一个完整的狄利克雷问题,求得的结果就是(1)在该定义域中的解。下面给出简单的证明过程。


  目录

摘要:
正文:
1.引言
2.证明
2.1 奇延拓的证明
2.2 问题的扩展
3.结语
参考文献 :


  参考资料

[1]. 梁昆淼,数学物理方法,高等教育出版社;
[2]. 李之杰等,球形轴对称问题奇延拓的证明,辽宁师范大学学报,2002年9月,第25卷第3期, p261-263;
[3]. 许世良,数学物理方法解题分析,江苏科学技术出版社。

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