递 推 关 系 的 应 用
[摘 要] 作为数学的一种重要思想——递推思想体现了世界上许多事物现象变化所遵循的一种前因和后果的关系，因此具有广泛的应用。本文围绕着递推关系及递推思想在组合、概率、几何、矩阵这些数学分支及信息学上的应用展开讨论。
[关键词] 递推关系 递推思想 应用
在纷繁变幻的世界，所有事物都随时间的流逝发生着微妙的变化。而许多现象的变化是有规律可循的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系 。即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。而递推关系的思想正体现了这一规律。递推关系不仅在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用，也在其它诸如信息学等科学领域中显示出独特魅力。因此学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养，更对今后进行学术问题的推广研究起着举足轻重的作用。本文将围绕着递推关系的广泛应用及其体现出的递推思想展开论述。首先让我们明确什么是递推关系。

[定义] 给定一个数的序列H(0)，H(1)，… ,H(n),…，用等号(或大于，小于号)把H(n)和某些个H(i),0≤ｉ＜n,联系起来的式子就叫做一个递推关系。
关于如何求解递推关系的问题，我们在组合数学里已经学习特征法、生成函数法、迭代和归纳法这几种较好的方法。这里不再讲述。

㈠ 递推关系是组合数学中的一个重要解题方法，因此在组合数学中其应用犹为广泛。
许多著名问题用递推法来解显得精巧简捷。如著名的杨辉三角(又称Pascal三角)就是根据组合公式 画出来的。很显然组合公式、杨辉三角都属于递推关系的范围。此外很多组合计数问题可建立递推关系来解决，往往显得较为简单。现在我们来看看递推关系在线性排列中的应用。
[例１]用１或２两数字写ｎ位数，其中任意相邻两个位置不全为１．记ｎ位数的个数为 ｆ(n)，求ｆ(10)．
分析：可以看出这是一道较为简单的组合题。我们只要以首位划分就

㈠ 递推关系是组合数学中的一个重要解题方法，因此在组合数学中其应用犹为广泛。
㈡ 在概率方面利用递推关系可以解决一类基本事件个数较大的概率问题。
㈢ 在几何方面，可以用递推关系解决一些与自然数有关的问题。
㈣ 在行列式方面，某些n阶行列式只用初等变换难以解决，但如果采用递推关系则显得较为容易。
㈤ 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用，由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显示出其独特的魅力。

[1]《高等代数》第四版 张禾瑞\郝 新编 高等教育出版社
[2]《组合数学》屈婉玲编 北京大学出版社
[3]《概率论及数理统计》第二版 中山大学数学系编著 高等教育出版社
[4]《斐波那契数列》吴振奎编著 一九八九年 辽宁教育出版社
[5]《C程序设计》第二版 谭浩强著 清华大学出版社