WEAK CONVERGENCE METHODS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 1 Weak Convergence 6 1.1 Review of Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Convergence of Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Compactness in Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Compactness theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 A Refinement of Rellich’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Measures of Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Defect measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 A refinement of Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 Concentration and Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Measures of Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Slicing measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Young measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Convexity 21 2.1 The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Weak lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Quasiconvexity 26 3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Rank-one convexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.2 Quasiconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Weak Lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Partial Regularity of Minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.1 Weak continuity of determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1CONTENTS 1 3.5.2 Polyconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 Concentrated Compactness 39 4.1 Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 Minimizers for critical Sobolev nonlinearities. . . . . . . . . . . . . 39 4.1.2 Strong convergence of minimizing sequences. . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Concentration-Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.1 Critial gradient growth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Compensated Compactness 54 5.1 Direct Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1.1 Harmonic maps into spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1.2 Homogenization of divergence structure PDE’s. . . . . . . . . . . . 56 5.1.3 Monotonicity, Minty-Browder method in L2 . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Elliptic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4.1 Single equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4.2 Systems of two equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Generalization of Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6 Maximum Principle Methods 72 6.1 The Maximum Principle for Full Nonlinear PDE . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1.1 Minty-Browder method in L∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1.2 Viscosity solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Homogenization of Nondivergence Structure PDE’s . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Singular Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7 Appendix 82 |
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