实变数的函数论(英文)电子书 1 The topology of metric spaces 13 1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Completeness and completion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Normed vector spaces and Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Total Boundedness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Separability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Second Countability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Conclusion of the proof of Theorem 1.5.1. . . . . . . . . . . . . . 20 1.9 Dini’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10 The Lebesgue outer measure of an interval is its length. . . . . . 21 1.11 Zorn’s lemma and the axiom of choice. . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.12 The Baire category theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.13 Tychonoff’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.14 Urysohn’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.15 The Stone-Weierstrass theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.16 Machado’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.17 The Hahn-Banach theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.18 The Uniform Boundedness Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Hilbert Spaces and Compact operators. 37 2.1 Hilbert space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Scalar products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 The Cauchy-Schwartz inequality. . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4 Hilbert and pre-Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.5 The Pythagorean theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.6 The theorem of Apollonius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.7 The theorem of Jordan and von Neumann. . . . . . . . . 42 2.1.8 Orthogonal projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.9 The Riesz representation theorem. . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.10 What is L2(T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1.11 Projection onto a direct sum. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.12 Projection onto a finite dimensional subspace. . . . . . . . 49 5 6 CONTENTS 2.1.13 Bessel’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.14 Parseval’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.15 Orthonormal bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.1 Non-negative self-adjoint transformations. . . . . . . . . . 52 2.3 Compact self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4 Fourier’s Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.1 Proof by integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.2 Relation to the operator d dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.3 G°arding’s inequality, special case. . . . . . . . . . . . . . . 62 2.5 The Heisenberg uncertainty principle. . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6 The Sobolev Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.7 G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.8 Consequences of G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.9 Extension of the basic lemmas to manifolds. . . . . . . . . . . . . 79 2.10 Example: Hodge theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.11 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 The Fourier Transform. 85 3.1 Conventions, especially about 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Convolution goes to multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 Scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4 Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian. . . . . . . . . . . 86 3.5 The multiplication formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.6 The inversion formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.8 The Poisson summation formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.9 The Shannon sampling theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10 The Heisenberg Uncertainty Principle. . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.11 Tempered distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.11.1 Examples of Fourier transforms of elements of S0. . . . . . 93 4 Measure theory. 95 4.1 Lebesgue outer measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 Lebesgue inner measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Lebesgue’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4 Caratheodory’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . 102 4.5 Countable additivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.6 -fields, measures, and outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7 Constructing outer measures, Method I. . . . . . . . . . . . . . . 109 4.7.1 A pathological example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.7.2 Metric outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.8 Constructing outer measures, Method II. . . . . . . . . . . . . . . 113 4.8.1 An example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.9 Hausdorff measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.10 Hausdorff dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 CONTENTS 7 4.11 Push forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.12 The Hausdorff dimension of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.12.1 Similarity dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.12.2 The string model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.13 The Hausdorff metric and Hutchinson’s theorem. . . . . . . . . . 124 4.14 Affine examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.14.1 The classical Cantor set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.14.2 The Sierpinski Gasket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.14.3 Moran’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5 The Lebesgue integral. 133 5.1 Real valued measurable functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2 The integral of a non-negative function. . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3 Fatou’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4 The monotone convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.5 The space L1(X,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6 The dominated convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.7 Riemann integrability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.8 The Beppo - Levi theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.9 L1 is complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.10 Dense subsets of L1(R,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.11 The Riemann-Lebesgue Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.11.1 The Cantor-Lebesgue theorem. . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.12 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.12.1 Product -fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.12.2 -systems and -systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.12.3 The monotone class theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.12.4 Fubini for finite measures and bounded functions. . . . . 154 5.12.5 Extensions to unbounded functions and to -finite measures.156 6 The Daniell integral. 157 6.1 The Daniell Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2 Monotone class theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.3 Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.4 H¨older, Minkowski , Lp and Lq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5 k · k1 is the essential sup norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.6 The Radon-Nikodym Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7 The dual space of Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.7.1 The variations of a bounded functional. . . . . . . . . . . 171 6.7.2 Duality of Lp and Lq when μ(S) ﹤ 1. . . . . . . . . . . . 172 6.7.3 The case where μ(S) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.8 Integration on locally compact Hausdorff spaces. . . . . . . . . . 175 6.8.1 Riesz representation theorems. . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.8.2 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.9 The Riesz representation theorem redux. . . . . . . . . . . . . . . 177 6.9.1 Statement of the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8 CONTENTS 6.9.2 Propositions in topology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.9.3 Proof of the uniqueness of the μ restricted to B(X). . . . 180 6.10 Existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.10.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.10.2 Measurability of the Borel sets. . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.10.3 Compact sets have finite measure. . . . . . . . . . . . . . 183 6.10.4 Interior regularity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 |
查看评论
已有0位网友发表了看法