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实变数的函数论(英文)电子书

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  实变数的函数论(英文)电子书
   1 The topology of metric spaces 13
   1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
   1.2 Completeness and completion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
   1.3 Normed vector spaces and Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . 17
   1.4 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   1.5 Total Boundedness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   1.6 Separability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
   1.7 Second Countability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   1.8 Conclusion of the proof of Theorem 1.5.1. . . . . . . . . . . . . . 20
   1.9 Dini’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
   1.10 The Lebesgue outer measure of an interval is its length. . . . . . 21
   1.11 Zorn’s lemma and the axiom of choice. . . . . . . . . . . . . . . . 23
   1.12 The Baire category theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
   1.13 Tychonoff’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
   1.14 Urysohn’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
   1.15 The Stone-Weierstrass theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
   1.16 Machado’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
   1.17 The Hahn-Banach theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
   1.18 The Uniform Boundedness Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
   2 Hilbert Spaces and Compact operators. 37
   2.1 Hilbert space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
   2.1.1 Scalar products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
   2.1.2 The Cauchy-Schwartz inequality. . . . . . . . . . . . . . . 38
   2.1.3 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
   2.1.4 Hilbert and pre-Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . 40
   2.1.5 The Pythagorean theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
   2.1.6 The theorem of Apollonius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
   2.1.7 The theorem of Jordan and von Neumann. . . . . . . . . 42
   2.1.8 Orthogonal projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
   2.1.9 The Riesz representation theorem. . . . . . . . . . . . . . 47
   2.1.10 What is L2(T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
   2.1.11 Projection onto a direct sum. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
   2.1.12 Projection onto a finite dimensional subspace. . . . . . . . 49
   5
   6 CONTENTS
   2.1.13 Bessel’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
   2.1.14 Parseval’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
   2.1.15 Orthonormal bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
   2.2 Self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
   2.2.1 Non-negative self-adjoint transformations. . . . . . . . . . 52
   2.3 Compact self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . 54
   2.4 Fourier’s Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
   2.4.1 Proof by integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
   2.4.2 Relation to the operator d
   dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
   2.4.3 G°arding’s inequality, special case. . . . . . . . . . . . . . . 62
   2.5 The Heisenberg uncertainty principle. . . . . . . . . . . . . . . . 64
   2.6 The Sobolev Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
   2.7 G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
   2.8 Consequences of G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 76
   2.9 Extension of the basic lemmas to manifolds. . . . . . . . . . . . . 79
   2.10 Example: Hodge theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
   2.11 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
   3 The Fourier Transform. 85
   3.1 Conventions, especially about 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
   3.2 Convolution goes to multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
   3.3 Scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
   3.4 Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian. . . . . . . . . . . 86
   3.5 The multiplication formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
   3.6 The inversion formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
   3.7 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
   3.8 The Poisson summation formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
   3.9 The Shannon sampling theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
   3.10 The Heisenberg Uncertainty Principle. . . . . . . . . . . . . . . . 91
   3.11 Tempered distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
   3.11.1 Examples of Fourier transforms of elements of S0. . . . . . 93
   4 Measure theory. 95
   4.1 Lebesgue outer measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
   4.2 Lebesgue inner measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
   4.3 Lebesgue’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . . . 98
   4.4 Caratheodory’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . 102
   4.5 Countable additivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
   4.6 -fields, measures, and outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . 108
   4.7 Constructing outer measures, Method I. . . . . . . . . . . . . . . 109
   4.7.1 A pathological example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
   4.7.2 Metric outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
   4.8 Constructing outer measures, Method II. . . . . . . . . . . . . . . 113
   4.8.1 An example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
   4.9 Hausdorff measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
   4.10 Hausdorff dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
   CONTENTS 7
   4.11 Push forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
   4.12 The Hausdorff dimension of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . 119
   4.12.1 Similarity dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
   4.12.2 The string model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
   4.13 The Hausdorff metric and Hutchinson’s theorem. . . . . . . . . . 124
   4.14 Affine examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
   4.14.1 The classical Cantor set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
   4.14.2 The Sierpinski Gasket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
   4.14.3 Moran’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
   5 The Lebesgue integral. 133
   5.1 Real valued measurable functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
   5.2 The integral of a non-negative function. . . . . . . . . . . . . . . 134
   5.3 Fatou’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
   5.4 The monotone convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 140
   5.5 The space L1(X,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
   5.6 The dominated convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 143
   5.7 Riemann integrability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
   5.8 The Beppo - Levi theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
   5.9 L1 is complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
   5.10 Dense subsets of L1(R,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
   5.11 The Riemann-Lebesgue Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
   5.11.1 The Cantor-Lebesgue theorem. . . . . . . . . . . . . . . . 150
   5.12 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
   5.12.1 Product -fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
   5.12.2 -systems and -systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
   5.12.3 The monotone class theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 153
   5.12.4 Fubini for finite measures and bounded functions. . . . . 154
   5.12.5 Extensions to unbounded functions and to -finite measures.156
   6 The Daniell integral. 157
   6.1 The Daniell Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
   6.2 Monotone class theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
   6.3 Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
   6.4 H¨older, Minkowski , Lp and Lq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
   6.5 k · k1 is the essential sup norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
   6.6 The Radon-Nikodym Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
   6.7 The dual space of Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
   6.7.1 The variations of a bounded functional. . . . . . . . . . . 171
   6.7.2 Duality of Lp and Lq when μ(S) ﹤ 1. . . . . . . . . . . . 172
   6.7.3 The case where μ(S) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
   6.8 Integration on locally compact Hausdorff spaces. . . . . . . . . . 175
   6.8.1 Riesz representation theorems. . . . . . . . . . . . . . . . 175
   6.8.2 Fubini’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
   6.9 The Riesz representation theorem redux. . . . . . . . . . . . . . . 177
   6.9.1 Statement of the theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
   8 CONTENTS
   6.9.2 Propositions in topology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
   6.9.3 Proof of the uniqueness of the μ restricted to B(X). . . . 180
   6.10 Existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
   6.10.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
   6.10.2 Measurability of the Borel sets. . . . . . . . . . . . . . . . 182
   6.10.3 Compact sets have finite measure. . . . . . . . . . . . . . 183
   6.10.4 Interior regularity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
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