| Semi-Riemann Geometry and General Relativity（黎曼几何）电子书（英文） 0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 The principal curvatures. 11 1.1 Volume of a thickened hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 The Gauss map and the Weingarten map. . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Proof of the volume formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Gauss’s theorema egregium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 First proof, using inertial coordinates. . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Second proof. The Brioschi formula. . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Problem set - Surfaces of revolution. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Rules of calculus. 31 2.1 Superalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Differential forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 The d operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Derivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Pullback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Chain rule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Lie derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.8 Weil’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.9 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10 Stokes theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.11 Lie derivatives of vector fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.12 Jacobi’s identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.13 Left invariant forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.14 The Maurer Cartan equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.15 Restriction to a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.16 Frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.17 Euclidean frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.18 Frames adapted to a submanifold. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.19 Curves and surfaces - their structure equations. . . . . . . . . . . 48 2.20 The sphere as an example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.21 Ribbons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.22 Developing a ribbon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.23 Parallel transport along a ribbon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 6 CONTENTS 2.24 Surfaces in R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Levi-Civita Connections. 57 3.1 Definition of a linear connection on the tangent bundle. . . . . . 57 3.2 Christoffel symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Parallel transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Geodesics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5 Covariant differential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 Torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.7 Curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.8 Isometric connections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.9 Levi-Civita’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.10 Geodesics in orthogonal coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.11 Curvature identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.12 Sectional curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.13 Ricci curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.14 Bi-invariant metrics on a Lie group. . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.14.1 The Lie algebra of a Lie group. . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.14.2 The general Maurer-Cartan form. . . . . . . . . . . . . . . 72 3.14.3 Left invariant and bi-invariant metrics. . . . . . . . . . . . 73 3.14.4 Geodesics are cosets of one parameter subgroups. . . . . . 74 3.14.5 The Riemann curvature of a bi-invariant metric. . . . . . 75 3.14.6 Sectional curvatures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.14.7 The Ricci curvature and the Killing form. . . . . . . . . . 75 3.14.8 Bi-invariant forms from representations. . . . . . . . . . . 76 3.14.9 The Weinberg angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.15 Frame fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.16 Curvature tensors in a frame field. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.17 Frame fields and curvature forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.18 Cartan’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.19 Orthogonal coordinates on a surface. . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.20 The curvature of the Schwartzschild metric . . . . . . . . . . . . 84 3.21 Geodesics of the Schwartzschild metric. . . . . . . . . . . . . . . 85 3.21.1 Massive particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.21.2 Massless particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 The bundle of frames. 95 4.1 Connection and curvature forms in a frame field. . . . . . . . . . 95 4.2 Change of frame field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3 The bundle of frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.1 The form #. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.2 The form # in terms of a frame field. . . . . . . . . . . . . 99 4.3.3 The definition of !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 The connection form in a frame field as a pull-back. . . . . . . . 100 4.5 Gauss’ theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.5.1 Equations of structure of Euclidean space. . . . . . . . . . 103 CONTENTS 7 4.5.2 Equations of structure of a surface in R3. . . . . . . . . . 104 4.5.3 Theorema egregium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5.4 Holonomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5.5 Gauss-Bonnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5 Connections on principal bundles. 107 5.1 Submersions, fibrations, and connections. . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Principal bundles and invariant connections. . . . . . . . . . . . . 111 5.2.1 Principal bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.2 Connections on principal bundles. . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.3 Associated bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2.4 Sections of associated bundles. . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.5 Associated vector bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.6 Exterior products of vector valued forms. . . . . . . . . . 119 5.3 Covariant differentials and covariant derivatives. . . . . . . . . . 121 5.3.1 The horizontal projection of forms. . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.2 The covariant differential of forms on P. . . . . . . . . . . 122 5.3.3 A formula for the covariant differential of basic forms. . . 122 5.3.4 The curvature is d!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.5 Bianchi’s identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.6 The curvature and d2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6 Gauss’s lemma. 125 6.1 The exponential map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2 Normal coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.3 The Euler field E and its image P. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.4 The normal frame field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.5 Gauss’ lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.6 Minimization of arc length. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7 Special relativity 133 7.1 Two dimensional Lorentz transformations. . . . . . . . . . . . . . 133 7.1.1 Addition law for velocities. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.1.2 Hyperbolic angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.1.3 Proper time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.1.4 Time dilatation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.5 Lorentz-Fitzgerald contraction. . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.6 The reverse triangle inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.1.7 Physical significance of the Minkowski distance. . . . . . . 138 7.1.8 Energy-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.1.9 Psychological units. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.1.10 The Galilean limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2 Minkowski space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2.1 The Compton effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.2 Natural Units. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2.3 Two-particle invariants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8 CONTENTS 7.2.4 Mandlestam variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 Scattering cross-section and mutual flux. . . . . . . . . . . . . . . 154 8 Die Grundlagen der Physik. 157 8.1 Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.1 Densities and divergences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.2 Divergence of a vector field on a semi-Riemannian manifold.160 8.1.3 The Lie derivative of of a semi-Riemann metric. . . . . . 162 8.1.4 The covariant divergence of a symmetric tensor field. . . . 163 8.2 Varying the metric and the connection. . . . . . . . . . . . . . . 167 |
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