随机微积分和金融(英文)电子书 1 Introduction to Probability Theory 11 1.1 TheBinomialAssetPricingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 LebesgueMeasure andtheLebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Independenceof sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.2 Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5.3 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.5.4 Correlationandindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5.5 Independence andconditionalexpectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.6 LawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5.7 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Conditional Expectation 49 2.1 ABinomialModel forStockPriceDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.1 Anexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.2 Definition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.3 FurtherdiscussionofPartialAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.4 PropertiesofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.5 Examples fromtheBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1 2 3 Arbitrage Pricing 59 3.1 BinomialPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Generalone-stepAPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Risk-Neutral ProbabilityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.1 PortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Self-financing Value of a Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 TheBinomialModel isComplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 The Markov Property 67 4.1 BinomialModelPricingandHedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 ComputationalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Differentways towrite theMarkovproperty . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4 Showingthata process isMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5 ApplicationtoExoticOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 Stopping Times and American Options 77 5.1 AmericanPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 ValueofPortfolioHedginganAmericanOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6 Properties of American Derivative Securities 85 6.1 Theproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Proofsof theProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4 OptimalExerciseofAmericanDerivativeSecurity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7 Jensen’s Inequality 91 7.1 Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 OptimalExerciseof anAmericanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3 StoppedMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8 RandomWalks 97 8.1 FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3 8.2 is almost surelyfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.3 The moment generating function for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.4 Expectation of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.5 TheStrongMarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.6 GeneralFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.7 Example: PerpetualAmerican Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.8 DifferenceEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.9 DistributionofFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.10 TheReflectionPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9 Pricing in terms ofMarket Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 111 9.1 Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.3 TheStatePriceDensityProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.4 Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.5 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10 Capital Asset Pricing 119 10.1 AnOptimizationProblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11 General Random Variables 123 11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.5 MarginalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.6 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.7 ConditionalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.8 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.9 Bivariatenormal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12 Semi-Continuous Models 131 12.1 Discrete-timeBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4 12.2 TheStockPriceProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.3 Remainder of theMarket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.4 Risk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.5 Risk-NeutralPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.7 StalkingtheRisk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 12.8 PricingaEuropeanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 13 BrownianMotion 139 13.1 Symmetric RandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.3 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 13.4 BrownianMotion as a Limit of RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 13.5 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 13.6 CovarianceofBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13.7 Finite-DimensionalDistributionsofBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.8 Filtration generated by a BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.9 MartingaleProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.10TheLimitof aBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.11StartingatPointsOtherThan0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.12MarkovPropertyforBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 13.14FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14 The Itˆo Integral 153 14.1 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.2 FirstVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.3 QuadraticVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.5 Construction of the It ˆoIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.6 It ˆointegralof an elementaryintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.7 Properties of the It ˆointegralof anelementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159 |
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