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随机微积分和金融(英文)电子书

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   1 Introduction to Probability Theory 11
   1.1 TheBinomialAssetPricingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
   1.2 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
   1.3 LebesgueMeasure andtheLebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
   1.4 General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
   1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
   1.5.1 Independenceof sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
   1.5.2 Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
   1.5.3 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
   1.5.4 Correlationandindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
   1.5.5 Independence andconditionalexpectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
   1.5.6 LawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
   1.5.7 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
   2 Conditional Expectation 49
   2.1 ABinomialModel forStockPriceDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
   2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
   2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
   2.3.1 Anexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
   2.3.2 Definition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
   2.3.3 FurtherdiscussionofPartialAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
   2.3.4 PropertiesofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
   2.3.5 Examples fromtheBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
   2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
   1
   2
   3 Arbitrage Pricing 59
   3.1 BinomialPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
   3.2 Generalone-stepAPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
   3.3 Risk-Neutral ProbabilityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
   3.3.1 PortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
   3.3.2 Self-financing Value of a Portfolio Process  . . . . . . . . . . . . . . . . 62
   3.4 Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
   3.5 TheBinomialModel isComplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
   4 The Markov Property 67
   4.1 BinomialModelPricingandHedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
   4.2 ComputationalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
   4.3 MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
   4.3.1 Differentways towrite theMarkovproperty . . . . . . . . . . . . . . . . 70
   4.4 Showingthata process isMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
   4.5 ApplicationtoExoticOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
   5 Stopping Times and American Options 77
   5.1 AmericanPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
   5.2 ValueofPortfolioHedginganAmericanOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
   5.3 Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
   6 Properties of American Derivative Securities 85
   6.1 Theproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
   6.2 Proofsof theProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
   6.3 Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
   6.4 OptimalExerciseofAmericanDerivativeSecurity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
   7 Jensen’s Inequality 91
   7.1 Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   7.2 OptimalExerciseof anAmericanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
   7.3 StoppedMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
   8 RandomWalks 97
   8.1 FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
   3
   8.2  is almost surelyfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
   8.3 The moment generating function for  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
   8.4 Expectation of  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
   8.5 TheStrongMarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
   8.6 GeneralFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
   8.7 Example: PerpetualAmerican Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
   8.8 DifferenceEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
   8.9 DistributionofFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
   8.10 TheReflectionPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
   9 Pricing in terms ofMarket Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 111
   9.1 Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
   9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
   9.3 TheStatePriceDensityProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
   9.4 Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
   9.5 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
   10 Capital Asset Pricing 119
   10.1 AnOptimizationProblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
   11 General Random Variables 123
   11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
   11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
   11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
   11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
   11.5 MarginalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
   11.6 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
   11.7 ConditionalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
   11.8 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
   11.9 Bivariatenormal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
   11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
   12 Semi-Continuous Models 131
   12.1 Discrete-timeBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
   4
   12.2 TheStockPriceProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
   12.3 Remainder of theMarket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
   12.4 Risk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
   12.5 Risk-NeutralPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
   12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
   12.7 StalkingtheRisk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
   12.8 PricingaEuropeanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
   13 BrownianMotion 139
   13.1 Symmetric RandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
   13.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
   13.3 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
   13.4 BrownianMotion as a Limit of RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
   13.5 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
   13.6 CovarianceofBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
   13.7 Finite-DimensionalDistributionsofBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . 144
   13.8 Filtration generated by a BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
   13.9 MartingaleProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
   13.10TheLimitof aBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
   13.11StartingatPointsOtherThan0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
   13.12MarkovPropertyforBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
   13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
   13.14FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
   14 The Itˆo Integral 153
   14.1 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
   14.2 FirstVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
   14.3 QuadraticVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
   14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
   14.5 Construction of the It ˆoIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
   14.6 It ˆointegralof an elementaryintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
   14.7 Properties of the It ˆointegralof anelementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159
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