“直线与平面”错解点击 在“直线与平面”内容中,为了研究直线与直线之间,直线与平面之间,平面与平面之间的各种关系,引进了一些基本概念和数学方法,例如“异面直线”,“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念,反证法、同一法等方法,对于这类特定的概念理解不准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易出错. 下面通过几例,对产生错误的解法进行分析,研究纠正错误的方法,从中吸取有益的教训,以加深对知识的理解,提高解题能力. 例1 证明;斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上. 错解 如图, 对于平面 ,直线AB是垂线,垂足B是点A的射影;直线AC是斜线,C是斜足,直线BC是斜线AC的射影. 在AC上任取一点P,过P作PO⊥ 交BC于O, ∴点P在平面 上的射影在BC上. 点击 这样的证明似乎有点道理,事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上,但仔细分析,这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足,过点P作PO⊥ 交BC于O,恰恰是本题要证明的.是一种易犯的逻辑错误,许多同学在解题中往往错而不觉,对此应引起警觉. 正解 AC是平面 的斜线,点C是斜足,AB⊥ ,点B是垂足. 则BC是AC在平面 上的射影. 在AC上任取一点P,过点P作PO⊥ ,垂足为O. ∴AB⊥ , ∴PO ∥AB, ∵点P在A、B、C三点确定的平面上,因此,PO 平面ABC, ∴ O∈BC. 例2 已知 、 是两个不重合的平面, ①若平面 ⊥平面 ,平面 ⊥平面 ,则平面 ∥平面 ; ②若平面 内不共线的三个点到平面 的距离相等,则平面 ∥平面 ; ③a、b是平面 内的两条直线,且a∥ ,b∥ ,则平面 ∥平面 ; 以上正确命题的个数为( ). (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 错解 三个命题都正确,选(D). 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析,缺乏把握空间元素位置关系的能力,不是用特殊代替一般,就是用一般统盖“特殊”.如判断①、②是真命题,只是考虑了图1与图2的情况,而忽略了图3与图4的情况. (1) (2) (3) (4) 而判断③是真命题,则是对平面与平面平行的判定定理:“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行”没有真正理解,用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”. 正解 因为三个命题都不正确,所以选(A). 例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点,求证:E1H1,与F1G2是异面直线. 错证1 (直接法) ①连BD,由题设 = , = , ∴ E1H1与BD不平行,设其交点为P, 则P∈BD. ∵ = = , 则 F1G2∥BD,∴ P F1G2. ②又E1P 平面BCD,且E1∈E1P, ∴ E1 平面BCD. 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线. 错证2 (反证法) 设E1H1与F1G2不是异面直线,则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2. ①设E1H1 ∩F1G2=P, ∵E1H 平面ABD,F1G 平面CBD, 则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 则F1G2∩ BD=P,这与F1G2∥BD (∵△CBD中, = = )矛盾, ∴ E1H1与F1G2不相交. ②设E1H1∥F1G2, ∵ F1G2∥BD,由公理4知 E1H1∥BD,这与E1H1 BD=P(∵在△ABD中, = , = ,∴E [原文截取] “直线与平面”错解点击 在“直线与平面”内容中,为了研究直线与直线之间,直线与平面之间,平面与平面之间的各种关系,引进了一些基本概念和数学方法,例如“异面直线”,“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念,反证法、同一法等方法,对于这类特定的概念理解不准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易出错. 下面通过几例,对产生错误的解法进行分析,研究纠正错误的方法,从中吸取有益的教训,以加深对知识的理解,提高解题能力. 例1 证明;斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上. 错解 如图, 对于平面 ,直线AB是垂线,垂足B是点A的射影;直线AC是斜线,C是斜足,直线BC是斜线AC的射影. 在AC上任取一点P,过P作PO⊥ 交BC于O, ∴点P在平面 上的射影在BC上. 点击 这样的证明似乎有点道理,事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上,但仔细分析,这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足,过点P作PO⊥ 交BC于O,恰恰是本题要证明的.是一种易犯的逻辑错误,许多同学在解题中往往错而不觉,对此应引起警觉. 正解 AC是平面 的斜线,点C是斜足,AB⊥ ,点B是垂足. 则..... |
人教版 “直线与平面”错解点击
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